数据结构

1.绪论

1. 数据结构的基本概念

• 可以用抽象数据类型定义一个完整的数据结构
• 与数据存储结构无关的术语是栈， 循环队列是用顺序表表示的队列，是一种数据结构
• 数据的逻辑结构独立于其存储结构
• 在存储数据时，不仅要存储数据元素的值，还要存储数据元素之间的关系
• 链式存储设计时，节点内的存储单元地址一定连续

不同节点的存储单元地址可以不连续，节点内的存储单元地址必须连续

2. 算法和算法评价

• 一个算法应该是问题求解的步骤
• 算法原地工作是指算法所需的辅助空间是常量

2. 线性表

1. 线性表的顺序表示

• 存储密度大是顺序存储结构的优点
• 线性表的顺序存储结构是一种随机存取的存储结构
• 线性表的序号是从一开始

2. 线性表的链式表示

• 链式存储结构比顺序存储结构能更方便的表示各种逻辑结构
• 静态链表需要分配较大的连续空间，插入和删除不需要移动元素
• 单链表中，增加一个头结点的目的是方便运算的实现
• 单链表中，删除最后一个元素与链表长度有关，其他操作均无关
• 在尾结点插入和删除数据，带头结点的双循环链表最节省时间

3. 栈，队列和数组

1. 栈

• 栈和队列具有相同的逻辑结构
• 向一个栈顶指针为top的链栈（不带头结点）中插入一个X节点，则执行x->next=top;top=x
• 采用共享栈的好处是节省存储空间，降低发生上溢的可能

2. 栈和队列的应用

• 栈在括号应用，表达式求值，递归，进制转换，迷宫求解等中有应用
• 队列在层序遍历，bfs，缓冲区，页面替换算法等中有应用

4. 串

• 简单的模式匹配算法时间复杂度为O(mn)，KMP算法的时间复杂度为O(m+n)
• KMP算法求next数组（重点），视频P36

5. 树与二叉树

1. 树的基本概念

• 树的路径长度是从树根到每个节点的路径长度的总和
• 树中所有节点的度数之和 = 树的所有分支 = 树的节点数目 - 1
• 设树中度为 i 的节点数为 ni

1
2

节点数 = 各个度的节点数之和 = 1 + 分支数 
n=n0+n1+n2+n3 = 1+n1+2n2+3n3

2. 二叉树的概念

• 非空二叉树上的叶子节点数等于度为2的节点数加1，即 n0= n2+1
• 非空二叉树第k层上至多有 2^(k-1) 个节点
• 高度为h的二叉树至多有 2^h -1 个节点
• 在含有n个节点的二叉链表中，含有 n+1 个空链域

3. 二叉树的遍历与线索二叉树

• 在二叉树中，m是n的祖先，使用后序遍历可以找到 m 到 n的路径
• 在二叉树的前序，中序，后序遍历中，所有叶子节点的先后顺序完全相同
• 二叉树的先序和后序完全相反，二叉树一定满足只有一个叶子节点
• 唯一不能确定一颗二叉树的是 先序遍历和后序遍历
• 线索二叉树是一种物理结构，tag为0时指向孩子节点，为1时指向线索节点
• 二叉树在线索化后，仍不能有效求解后序线索二叉树求后序后继
• 后序线索树遍历仍需要 栈 的支持

3. 树，森林

• 将树转变成二叉树：左孩子右兄弟

• 将森林F转换为对应的二叉树T，F中叶节点的个数等于 T中左孩子指针为空的节点个数

在一颗二叉树中，如果某个节点的左指针为NULL，就说明这个节点在原来的森林中没有孩子，是叶子节点

4. 树与二叉树的应用

• 若没有编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码
• 在哈夫曼树中只有叶子结点才能作为字符编码
• 对应一组权值构造出的哈夫曼树不是惟一的
• 哈夫曼树的度只有0和2，没有1
• 并查集的结构是一种 双亲表示法存储的树
• 并查集查找操作的时间复杂度为 O(n)

6.图

1. 图的基本概念

• 图中有关路径的定义：由顶点和相邻顶点序偶构成的边所形成的序列
• 无向图的全部顶点的度的和等于边数的两倍
• 强连通有向图至少有 n 条边（构成环）

2. 图的存储及基本操作

• 无向图的度为邻接矩阵中第i行或第i列非零元素之和
• 一个图的邻接矩阵表示唯一，邻接表表示不唯一
• 在有向图的邻接表存储结构中，顶点 v 在边表中出现的次数为 顶点v的入度

解释：这里的边表不包含顶点表（即出度）

• 假设有n个顶点，e条边的有向表用邻接表表示，则删除与某个顶点v相关的所有边的时间复杂度为O(n+e)
• 十字链表是有向图的链式存储结构
• 邻接多重表是无向图的链式存储结构

3. 图的遍历

• 当各边的权值相等时，广度优先算法可以解决单源最短路径问题

• 图的广搜使用队列，深搜使用栈

• 图的深搜相当于树的 先序遍历

• 判断有向图中是否存在回路，除了利用拓扑排序外，还可以利用 深度优先遍历，求关键路径（求最短路径不行）

• 使用DFS算法递归的遍历一个有环无向图，在退出递归时输出相应顶点，这样得到的顶点序列是逆拓扑有序

4. 图的应用

• 只要无向连通图中没有权值相同的边，则其最小生成树唯一、
• 最短路径一定是简单路径
• 若一个有向图的顶点不能排成一个拓扑序列，则判定该有向图含义顶点数大于1的强连通分量
• 若一个有向图具有有序的拓扑排序序列，则它的邻接矩阵必定为 三角
• 最小生成树代价唯一（形状可能不唯一）

7.查找

1. 顺序查找和折半查找

• 折半查找过程所对应的判定树是一棵平衡二叉树
• 折半查找和二叉排序树的时间性能有时不相同

二叉排序树的查找性能和数据的输入顺序有关，最坏情况形成单支树，查找长度为O(n)

• 对表长为n的有序表进行折半查找，判定树的高度为 log2(n+1)向上取整

2. 树形查找

• 平衡二叉树（AVL）左子树与右子树的高度差称为平衡因子（-1,0,1）
• 节点数最少的平衡二叉树节点数的递推公式（重要）

1
2
3

n1=1  n2=2
n3=n1+n2+1
...

• AVL中所有非叶子节点的平衡因子均为1，说明它的叶子节点数最少
• 平衡树的查询效率一般优于红黑树
• 一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为 2log(n+1)
• 红黑树任意节点的左右子树的高度之差不超过两倍
• 如果红黑树的所有节点都是黑色的，那么它一定是一棵满二叉树

3. B树，B+树

• B+树不同于B树的特点之一是能支持顺序查找
• B树和B+树都可以用于文件索引结构
• B+树更加适用于实际应用中的操作系统中的文件索引和数据库索引

4. 散列表

• 散列表查找成功的平均查找长度与散列因子有关，与表长无关
• 若在散列表中删除一个元素，不能简单地将该元素删除（在删除地方做删除标记）
• 采用再散列法处理冲突时不易产生聚集
• 使用链地址法不会引起聚集现象

8. 排序

1. 排序的基本概念

• 排序算法的稳定性是指经过排序后，能使关键字相同的元素保持原顺序中的相对位置不变
• 拓扑排序不属于内部排序方法
• 使用链表也可以进行排序，只不过有些排序算法不在适用
• 对同一线性表使用不同的排序方法进行排序，得到的排序结果可能不同
• 对任意n个关键字排序的比较次数至少为 log2(n!) 向上取整

2. 插入排序

• 插入排序：直接插入排序，折半插入排序，希尔排序

• 对n个元素的顺序表进行直接插入排序算法，最坏情况下所需的比较次数是n(n-1)/2 , 最好情况下是（n-1）

• 与直接插入排序相比，折半插入排序减少了比较元素的次数，元素的移动次数并未改变

3.交换排序

• 交换排序：冒泡排序，快速排序
• 快速排序：当每次枢轴都把表等分位长度相近的两个子表时，速度是最快的；当表本身已经有序或者逆序时，速度最慢
• 递归次数与每次划分后得到的分区的处理顺序无关
• 快速排序的阶段性特点是：第 i 趟完成时，会有i个以上的数出现在它最终将要出现的位置，即它左边的数都比它小，右边的数都比它大

4. 选择排序

• 选择排序：简单选择排序，堆排序
• 简单选择排序的比较次数和移动次数分别为O(n^2)，O(n)
• 通常，取一大堆数据中的K个最大（最小）元素时，都优先采用堆排序
• 向具有n个元素的堆中插入一个元素的时间复杂度为 O(logn),删除一个元素的时间复杂度为 O(logn)
• 构建 n 个记录的初始堆，时间复杂度为 O(n) , 进行堆排序，最坏情况下，时间复杂度为 O(nlogn)

5. 归并排序和基数排序

• 基数排序不需要进行关键字的比较
• 平均情况下空间复杂度为O(n)的是归并排序，最坏情况下空间复杂度为O(n)的是 归并排序，快速排序
• 对10TB的数据文件进行排序，应使用的方法是归并排序

6.各个排序算法比较

• 排序趟数与序列初始状态无关的排序算法是 直接插入，简单选择，基数排序
• 每趟排序结束后都至少能够确定一个元素最终位置的方法是简单选择，快速，堆排序
• 元素的移动次数与初始排列次序无关的是基数排序

7. 外部排序

• 在做m路平衡归并排序的过程中，为实现输入/内部归并/输出的并行处理，需要设置 2m个输入缓冲区，2个输出缓冲区
• 如何判定添加虚段的数目？

设度为0的节点有N0个，度为k的节点有Nk个，则对严格的k叉树有 N0 = (k-1)Nk+1 ，由此得 NK = （N0-1）/(k-1) (Nk必须为整数)